Compléments première année - ENS Rennes
Des sommes de Riemann à l'intégrale de Young
Dans ces notes, je présente différentes notions d'intégration en prenant comme point de départ les sommes de Riemann. Je commence par construire les intégrales de Riemann et de Stieltjes puis je généralise avec l'intégrale de Young qui donne notamment une condition optimale pour intégrer deux fonctions hölderiennes l'une contre l'autre. Cela me permet de faire une introduction vers la théorie des chemins rugueux qui traite en particulier le cas limite de l'intégration stochastique qui est hors de portée des notions précédentes.
Compléments agrégation
Ces notes décrivent le contenu de 6 heures de compléments d’algèbre qui accompagent la correction d’un sujet de Mathématiques Générales de l’agrégation. Elles portent sur la notion d’algèbre de dimension finie à travers les principaux exemples du programme que sont l’algèbre des polynômes à une indéterminée, les extensions de corps et la réduction d'endomorphismes.
Développements d'agrégation
Ces développements sont ceux que j'ai préparé pour mes oraux de l'agrégation 2017, ils peuvent en particulier contenir des erreurs.
Algèbre et géométrie
Caractères et
sous-groupes distingués
Classification
des groupes abéliens finis par les caractères
Connexité et
formes quadratiques réelles
Critère de
nilpotence de Cartan
Dénombrement des
matrices diagonalisables dans Mn(Fq)
Dénombrement des
polynômes irréductible de Fq[X]
Générateurs de
groupes linéaires
Homéomorphisme par
l’exponentielle
Image de
l’exponentielle
Irréductibilité
des polynômes cyclotomiques
Isométries du
cube et du tétraèdre
Loi de
réciprocité quadratique
Quelques applications de
la transformation de Fourier discrète
Simplicité de
SO3(R)
Table de S4
Théorème de la
base de Burnside
Théorème des deux
carrés
Théorème de
Frobenius
Théorème de
Kronecker
Analyse et probabilités
Densité
des polynômes orthogonaux
Équation de la
chaleur par les séries de Fourier
Estimateur du
maximum de vraisemblance d’une loi uniforme
Formule de
Cauchy et un calcul d’intégrale
Formule
d’inversion de la fonction caractéristique
Lemme de Morse
Marche aléatoire
sur Zd avec d ≥ 3
Méthode de
Laplace
Méthode de
Newton
Méthode de la
puissance
Polynômes de
Bernstein et théorème de Weierstrass
Théorème de
Banach Alaoglu et minimisation d'une fonctionnelle convexe
Théorème de
Cauchy-Lipschitz et un lemme de Gronwall
Théorème des
extrema liés
Théorème de Fejér
Théorème de
Hahn-Banach
Théorème de
Lax-Milgram
Théorème de
Littlewood
Théorème de
Lyapunov
Théorème de
Riesz-Fischer
Un calcul de
séries numériques par les séries entières